Cuadrados mágicos I

El artículo de hoy es la primera parte de una colaboración de Areli, ¡ojalá lo disfrutes mucho! Y recuerda que tú también puedes colaborar con nosotros :)

Un "cuadrado mágico" es una cuadrícula donde se acomodan números consecutivos, como por ejemplo empezando por el 1, luego el 2, y así, de manera que la suma de los reglones, las columnas y las diagonales del cuadrado sean todas iguales. La siguiente imagen es el detalle de un "cuadrado mágico" de 4 x 4 en la obra Melancolía de Alberto Durero.

Primer renglón 16, 3, 2, 13. Segundo renglón 5, 10, 11, 8. Tercer renglón 9,6,7,12. Cuarto renglón 4, 15, 14, 1.

Pueden verificar fácilmente que la suma de cada renglón, de cada columna y de cada diagonal es igual a 34.

El problema que vamos a platicar aquí es cómo acomodar en una cuadrícula 3x3 los números del 1 al 9 de manera que la suma de los números de cada renglón, de cada columna y de cada diagonal, sea la misma.


Tal vez quieras intentar unas horas construir este arreglo peculiar y regresar después a leer el resto del post. Te adelanto que más tarde construiremos este cuadrado, y no solo eso, sino infinidad de "cuadrados mágicos".

¿Ya estás de vuelta? Pues seguimos. La primera pista que podríamos buscar es ¿cuánto vale esta suma? Bueno, supongamos que es posible acomodar los números cumpliendo las condiciones que me piden. Entonces, sumando los 3 renglones, obtengo la misma cantidad, que llamaremos total.


Por otro lado, sabemos que la suma de los números del 1 hasta el 9 es 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. (¡Verifícala!) Entonces:

total (primer renglón) + total (segundo renglón) + total (tercer renglón) = 3 total = 45.

Por lo tanto, total es igual a dividir 45 entre 3. O sea, total = 15. ¡Ya sabemos que si el "cuadrado mágico" 3x3 se puede construir, la suma tendría que ser 15!

Noten que podemos repetir el mismo argumento con las columnas y obtenemos la misma información. Tal vez ahora con este nuevo dato quieras regresar a tus hojas garabateadas a seguir intentando acomodar los números en la cuadrícula, o empezar a intentarlo en la servilleta del café, o seguirlo pensando para distraerte cuando estés enmedio el tráfico.

Si no, seguimos. Tal vez ya te diste cuenta que las esquinas del cuadrado son "un problema" porque se usan tres veces: en la suma de su columna, en la suma de su renglón y en la suma de la diagonal a la que pertenecen.


Entonces, el 9 no puede ir en una esquina. Porque el 9 se completa con 6 para sumar 15, 15-9=6. Pero como solo estamos usando los números del 1 al 9, solo tenemos dos formas de obtener ese 6, o usando 1 y 5, o usando 2 y 4. Nota que no podemos usar 3+3=6 porque no podemos repetir el 3. Abajo mostramos un posible acomodo donde intentamos poner el 9 en una diagonal y vemos que no funciona.


Por el mismo argumento el 9 no puede ir en el centro. Porque el número que está en el centro es considerado en 4 sumas, el renglón del centro, la columna del centro y las dos diagonales. Luego el 9 debe ir en una casilla que no sea ni el centro, ni las esquinas. Explotando esta idea que caracteriza la casilla del centro y buscando entre los nueve números, concluimos que el número 5 es el único que puede ir en el centro. ¿Por qué? Porque le faltarían 10 para sumar 15. Y el 10 se puede obtener sumando, 1y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6. Puedes intentar escribir lo mismo para los otros números y verás que no se puede de 4 formas diferentes. Luego, juntando toda esta información, nuestro cuadrado ya se ve así.


El resto es completar el cuadrado usando que la suma de las diagonales, los renglones y las columnas es 15.


Ahora quiero limpiar un poco de lo "mágico". En la literatura podemos encontrar que a este número 15 se le llama "constante mágica". Bueno, ahora que construimos nuestro "cuadrado mágico" vamos a construir otros "cuadrados mágicos" muy fácilmente con otra "constante mágica". ¿Cómo? Basta sumar o restar a cada uno de los números del cuadrado un número, el que quieran, pero el mismo. Por ejemplo, si le quitamos UNO a cada número del cuadrado que construimos, obtenemos un cuadrado mágico, pero con "constante mágica" 12.


Así, con este truco podemos obtener infinitos "cuadrados mágicos" donde las "constantes mágicas" siempre son múltiplos de 3.

Entonces nos asaltan todo tipo de preguntas sobre los "cuadrados mágicos". Yo ya me hice varias preguntas y espero poder contestarlas en mis ratos libres. Por ejemplo, ¿qué pasa si quitamos la condición de que los números sean consecutivos? ¿o que no se puedan repetir? Espero que ustedes también tengan muchas preguntas y podamos usar los comentarios para platicar.

Quisiera cerrar con una última observación. Regresemos al cuadrado mágico que construimos primero. Noten que las simetrías del cuadrado respetan la propiedad de que las sumas de los renglones, las columnas y las diagonales es la misma. Podemos rotar el cuadrado mágico o reflejarlo respecto a un eje de simetría, que el cuadrado sigue siendo "mágico".


De estas simetrías y otras historias de los "cuadrados mágicos" hablaremos en nuestra siguiente entrega.

AreLi

Publicar un comentario en la entrada

¡Ándele, coméntele!

Entradas populares de este blog

  • ¿Cuántos papás tienes? Sí, ya sé que es una pregunta boba. Pero anda, sígueme la corriente. OK, 2: un papá y una mamá. Ahora, ¿cuántos abuelos? Bien, 4. Y, ¿bisabuelos? Exacto, 8. Así nos podríamos ir yendo atrás en el tiempo contando nuestros ancestros. De hecho, podríamos dibujar un arbolito de cabeza mostrando a nuestros papás, abuelos, bisabuelos, etc. Pero, ¿no notas algo raro? Según nuestro arbolito, parece que entre más generaciones consideremos hacia el pasado, ¡más gente hay! Según nuestro dibujo, si nos vamos 1 generación atrás, hay 2 personas (los papás); 2 generaciones, hay 4 (los abuelos); 3 generaciones, 8 (los bisabuelos); y así va aumentando. De hecho, dado un número de generaciones que queremos considerar, llamémosle G, tenemos que el número de personas es igual a 2^G: 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, etc. Y esto es por *cada* persona. Sabemos que actualmente hay unas 7 mil millones de personas; así pues, según nuestro dibujito, hace G generaciones había
    Sigue leyendo
  • El tener más herramientas para explotar la creatividad debe emocionar a varios artistas, así como a aquellos que usan la tecnología para hacer dichas herramientas una realidad. Hoy les queremos compartir dos videos que muestran estas dos facetas. Un estudio parisino de diseño, “Appropriate Audiences”, combinó una impresora  Makerbot 3D con una aguja tatuadora para crear una impresora tatuadora automatizada que crea arte indeleble en la piel. La “Tatué”, nombre que se le dio,  inserta tinta en la piel hasta 150 veces por segundo. Un sensor lee la superficie de la piel de manera que la aguja pueda responder a cambios en la textura de la piel y a las dimensiones del miembro a tatuar. Esta aguja es controlada por un software de “Autodesk” adaptado por la compañía creadora de este híbrido; el cual transforma los diseños de tatuajes en archivos digitales que pueden ser descargados en la máquina. Basta con introducir la parte a tatuar dentro de la máquina para obtener su diseño en la p
    Sigue leyendo
  • Diagrama de Venn en Wikipedia Considere mi querido lector el conjunto I de todas las ideas. Note que dado que I es también una idea, tenemos que I se contiene a sí mismo. Ahora vayamos un poquito más lejos: consideremos el conjunto C de todos los conjuntos que se contienen a sí mismos. Estará de acuerdo conmigo, que I pertenece a C. Finalmente, considere el conjunto N de todos los conjuntos que *no* se contienen a sí mismos. Obviamente, I no pertenece a N. Ahora viene una pregunta venenosa: ¿N se contiene a sí mismo? Pensemos. Tenemos dos posibilidades: 1. N se contiene a sí mismo. 2. N no se contiene a sí mismo. Analicemos pues la primera alternativa. Supongamos que N se contiene a sí mismo. Pero, ¡momento! Se supone que N contiene todos los conjuntos que *no* se contienen a sí mismos. Por lo tanto, esta alternativa nos lleva a una contradicción. Muy bien, analicemos ahora la única otra alternativa: N no se contiene a sí mismo. Pero, ¡momento! Dado que N es un co
    Sigue leyendo